The Group Action of the Symmetric Group of Order Twenty Four as Rotations of a Cube

The group action of S4 as rotations of a cube

Arun Ram
Department of Mathematics and Statistics
University of Melbourne
Parkville, VIC 3010 Australia

Last updates: 14 February 2011

The group action of S4 as rotations of a cube

S4 is the group of rotations of the cube. We shall denote the vertices by vi, the edge connecting the vertex i to the vertex j by eij, i<j, and the face adjacent to the four vertices vi, vj, vk, vl by fijkl, i<j<k<l. Let r12345678 denote the region determined by the the inside of the cube. Let pij denote the point on the edge connecting vi to vj which is a third of the way from vi to vj.

S T v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8

Let S be the 90° rotation about the top face taking v1 v2 v3 v4 v1 and v5 v6 v7 v8 v5. Let T be the 90° rotation about the right face taking v4 v1 v5 v8 v1 and v3 v2 v6 v7 v3. Note that S4=1, T4=1, and ST3=1.

Let P= pij 1i,j8 , V= v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8 , E= e12, e23, e34, e13, e15, e48, e26, e37, e56, e67, e78, e58 F= f1234, f5678, f1256, f3478, f1458, f2367 ,and R= r12345678 , denote the sets of points, vertices, edges, faces and regions respectively. Since S4 acts on the cube, S4 acts on each of these sets.

Stabilizer Size of Stabilizer Orbit Size of Orbit
S4 pij= 1 1 S4pij= P 24
S4v1= 1,T3S,TS3 =H 3 S4v1= V 8
S4v7= 1, T3S,TS3 = H 3 S4v7=V 8
S4v2= 1,S3T3,TS = SHS-1 3 S4v2=V 8
S4v8= 1, S3T3,TS = SHS-1 3 S4v8=V 8
S4v8= 1, S3T3,TS = S2HS-2 3 S4v3=V 8
S4v5= 1, ST,S2TT = S2HS-2 3 S4v5=V 8
S4v4= 1, S3T, S2TS3 = S3HS-3 3 S4v4=V 8
S4v6= 1, S3T, S2TS3 = S3HS-3 3 S4v6=V 8
S4e12= 1, TS2 =J 2 S4 e12=E 12
S4e78= 1, TS2 =J 2 S4 e78=E 12
S4e23= 1, STS =SJS-1 2 S4 e23=E 12
S4e58= 1, STS =SJS-1 2 S4 e58=E 12
S4e34= 1, S2T =S2JS-2 2 S4 e34=E 12
S4e56= 1, S2T =S2JS-2 2 S4 e56=E 12
S4e14= 1, S3TS3 =S3JS-3 2 S4 e14=E 12
S4e67= 1, S3TS3 = S3JS-3 2 S4 e67=E 12
S4e15= 1, ST3 = ST3J ST3-1 2 S4 e15=E 12
S4e37= 1, ST2 = ST3J ST3-1 2 S4 e37=E 12
S4e48= 1, S3T2 = S3TSJ S3TS-1 2 S4 e48=E 12
S4e26= 1, S3T2 = S3TSJ S3TS-1 2 S4 e26=E 12
S4 f1234 = 1, S, S2, S3 =K 4 S4 f1234 =F 6
S4 f5678 = 1, S, S2, S3 =K 4 S4 f5678 =F 6
S4 f1256 = 1, S2T2, S3T2S, STS3 =TKT-1 4 S4 f234 =F 6
S4 f3478 = 1, S2T2, S3T2S, STS3 =TKT-1 4 S4 f3478 =F 6
S4 f1458 = 1, T, T2, T3 = ST3K ST3-1 4 S4 f1458 =F 6
S4 f2367 = 1, T, T2, T3 = ST3K ST3-1 4 S4 f2367 =F 6
S4 r12345678 = S4 24 S4 r12345678 =F 1

1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 S v4 v1 v2 v3 v8 v5 v6 v7 S2 v3 v4 v1 v2 v7 v8 v5 v6 S3 v2 v3 v4 v1 v6 v7 v8 v5
T v4 v3 v7 v8 v1 v2 v6 v5 ST v8 v4 v3 v7 v5 v1 v2 v6 S2T v7 v8 v4 v3 v6 v5 v1 v2 S3T v3 v7 v8 v4 v2 v6 v5 v1
T2 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 ST2 v5 v8 v7 v6 v1 v4 v3 v2 S2T2 v6 v5 v8 v7 v2 v1 v4 v3 S3T2 v7 v6 v5 v8 v3 v2 v1 v4
T3 v5 v6 v2 v1 v8 v7 v3 v4 ST3 v1 v5 v6 v2 v4 v8 v7 v3 S2T3 v2 v1 v5 v6 v3 v4 v8 v7 S3T3 v6 v2 v1 v5 v7 v3 v4 v8
TS3 v1 v4 v8 v5 v2 v3 v7 v6 STS3 v5 v1 v4 v8 v6 v2 v3 v7 S2TS3 v8 v5 v1 v4 v7 v6 v2 v3 S3TS3 v4 v8 v5 v1 v3 v7 v6 v2
TS v3 v2 v6 v7 v4 v1 v5 v8 STS v7 v3 v2 v6 v8 v4 v1 v5 S2TS v6 v7 v2 v6 v5 v8 v4 v1 S3TS v2 v6 v7 v3 v1 v5 v8 v4


[CM] H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser, Generators and relations for discrete groups, Fourth edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 14. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. MR0562913 (81a:20001)

[GW1] F. Goodman and H. Wenzl, The Temperly-Lieb algebra at roots of unity, Pacific J. Math. 161 (1993), 307-334. MR1242201 (95c:16020)

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